✎ Déterminer des extrema

Propriété  

Soit  $f$  une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$  de $\mathbb{R}$ ouvert et  $a$  un réel appartenant à  $I$ ( $a$ n'est donc pas une borne de  $I$ ).
Si  $f$  admet un extremum en  $a$ , alors  $f^{\prime }(a)=0$ .

Remarques

• L'implication n'est plus vraie si l'intervalle  $I$ n'est pas ouvert. C'est le cas, par exemple, de la fonction carrée, définie et dérivable sur l'intervalle  $I=[0;1]$ . Elle est strictement croissante sur  $I$ et son maximum vaut $1$ et est atteint en $x=1$ . Pourtant  $f^{\prime }(1)=2$ . 
  
• Il existe bien des fonctions non dérivables en un réel $a$ , mais qui admettent en ce point un extremum. C'est le cas, par exemple, de la fonction valeur absolue qui admet  $0$  comme minimum sur  $\mathbb{R}$  atteint en $x=0$  mais elle n'est pas dérivable en  $0$ .
  

Démonstration 

Soit  $f$  une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert  $I$  et  $a$  un réel appartenant à  $I$ ( $a$ n'est donc pas une borne de  $I$ ).  
Supposons que  $f$  admette en  $a$  un maximum qui vaut  $f(a)$ . Alors, pour tout réel  $x\in I,f(x)⩽f(a)\iff f(x)-f(a)⩽0$ et pour tout  $h\ne 0,f(a+h)-f(a)\le 0$ . 
Or  $f$ est dérivable en  $a$  et  $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ . 
On distingue deux cas selon le signe de  $h$  : 

• si  $h>0$ , alors  ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\le 0$  et donc, par passage à la limite,  $f^{\prime }(a)⩽0$ . 
  
• si  $h<0$ , alors  ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\ge 0$  et donc, par passage à la limite,  $f^{\prime }(a)⩾0$ . 
  

Ces deux dernières inégalités permettent de conclure que  $f^{\prime }(a)=0$ . 
On raisonne de façon similaire dans le cas où  $f$ admet un minimum en $a$ .

Remarque

La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction cube, définie sur  $\mathbb{R}$  par  $f(x)=x^3$ , admet comme dérivée  $f^{\prime }(x)=3x^2$ . Cette dérivée s'annule en  $0$ . Pourtant,  $f$  n'admet pas d'extremum en  $0$  (elle est strictement croissante sur   $\mathbb{R}$ ).